Question

如圖①、②在?ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD兩側的延長線（或線段CD）相交于點F、G，AF與BG相交于點E．
（1）在圖①中，求證：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在圖②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設∠DAF=∠2，∠BAF=∠1，∠ABG=∠3，∠GBC=∠4．利用角平分線的性質可知，∠1=∠2=∠BAD，∠3=∠4=∠ABC，再利用平行四邊形的鄰角互補，可證垂直；再利用其對邊平行，又可得∠1=∠F，∠3=∠G，等量代換，可得邊相等，又有平行四邊形的對邊相等，可證；
（2）可利用和（1）相同的證法可得．延長BG、AD交于點H，利用角平分線的性質以及平行四邊形的對邊平行，可得DG=DH，AB=AH，即可求DH=DG=4，那么FG=2，又△FEG∽△AEB，可得相似比，能求出EG、BE的長，利用勾股定理，可求出AE，EF的長，那么AF就可求．
解答：（1）證明：如圖①，在平行四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC=180°
∵AF、BG分別平分∠BAD和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，
∴在△AEB中，∠AEB=90°，知AF⊥BG．
又有平行四邊形ABCD中，AB∥CD，即AB∥FG，
可得∠1=∠F，而∠1=∠2，
∴∠2=∠F，
∴在△DAF中，DF=AD（4分）
同理可得，在△CBG中，CG=BC，
∵平行四邊形ABCD中，AD=BC，
∴DF=CG；

（2）解：如圖②，平行四邊形ABCD中，CD=AB=10，BC=AD=6，
由（1）和題意知，DF=AD=6，CF=CD-DF=4，
同理可得，CG=BC=6，
∴FG=CG-CF=2．

解法一：過點A作AH∥BG，交CD的延長線于H點（9分）
則四邊形ABGH是平行四邊形，且AH⊥AF
∴AH=BG=4，GH=AB=10，∴FH=FG+GH=12（10分）
在Rt△FAH中，；

解法二：過點C作CM∥AF，分別交AB、BG于點M、N（9分）
則四邊形AMCF是平行四邊形，CM=AF，且CM⊥BG于點N，
在等腰△BCM中，CN=NM，即CM=2CN
在等腰△CBG中，BN=NG=BG=2，
在Rt△BNC中，，
∴AF=CM=2CN=8；

解法三：平行四邊形ABCD中，AB∥CD，題知AF⊥BG，
∴Rt△ABE∽Rt△FGE，得，
而GE=BG-BE，
∴=，
解得BE=，
∴GE=4-=（10分）
在Rt△AEB中，AE=，
在Rt△FEG中，EF=，
∴AF=AE+EF=8．
點評：本題利用了平行四邊形的性質，角平分線的性質，相似三角形的判定和性質，平行線的性質以及勾股定理等知識，綜合性比較強．