Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

(1)出發(fā)2秒后，求PQ的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，△PQB能形成等腰三角形？

(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

Answer 1

【答案】（1）PQ=2；（2）t=；（3）t=5.5，t=6，t=6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，

根據(jù)勾股定理可得：AC=10

∴BQ=2×2=4cm，BP=AB-AP=8-2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=（cm）；

（2）解：根據(jù)題意得：BQ=BP，

即2t=8-t，

解得：t=；

即出發(fā)時(shí)間為：秒時(shí)，△PQB是等腰三角形；

（3）解：分三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：

過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則BE===4.8（cm）

∴CE==3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，

△BCQ為等腰三角形．