Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2－x－3與x軸的交點為A、D(A在D的右側)，與y軸的交點為C.

(1)直接寫出A、D、C三點的坐標；

(2)若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標；

(3)設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為(4，0)，D點坐標為(－2，0)，C點坐標為(0，－3)；

（2）M點坐標為(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)；

（3）在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形；點P的坐標為(－2，0)或(6，6)．

【解析】試題分析：（1）在中令，解得，

∴A(4，0) 、D(－2，0).

在中令，得，∴C(0，－3).

（2）連接AC，根據軸對稱的性質，AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求，從而應用待定系數法求出AC的解析式，再求出拋物線的對稱軸，即可求得點M的坐標.

（3）分BC為梯形的底邊和BC為梯形的腰兩種情況討論即可.

試題解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)

（2）如圖，連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求.

設直線AC的解析式為，則，解得.

∴直線AC的解析式為.

∵的對稱軸是直線，

把x=1代入得

`∴M(1， ).

（3）存在，分兩種情況：

①如圖，當BC為梯形的底邊時，點P與D重合時，四邊形ADCB是梯形，此時點P為(－2，0).

②如圖，當BC為梯形的腰時，過點C作CP//AB，與拋物線交于點P，

∵點C，B關于拋物線對稱，∴B(2，－3)

設直線AB的解析式為，則，解得.

∴直線AB的解析式為.

∵CP//AB，∴可設直線CP的解析式為.

∵點C在直線CP上，∴.

∴直線CP的解析式為.

聯立，解得，

∴P(6，6).

綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形，點P的坐標為(－2，0)或(6，6).