二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖所示.已知它的頂點(diǎn)M在第二象限,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1).
(1)試求a,b所滿足的關(guān)系式;
(2)設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的倍時(shí),求a的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得△ABC為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)把點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,就可以得到關(guān)于a,b,c關(guān)系式.整理就得到a,b的關(guān)系.
(2)△ABC的面積可以求出是,利用公式求出拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而表示出△AMC的面積,根據(jù),就可以得到關(guān)于a的方程,解得a的值.
(3)本題應(yīng)分A是直角頂點(diǎn),B是直角頂點(diǎn),C是直角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論.
解答:解:(1)將A(1,0),B(0,l)代入y=ax2+bx+c,
得:
可得:a+b=-1(2分)

(2)∵a+b=-1,
∴b=-a-1代入函數(shù)的解析式得到:y=ax2-(a+1)x+1,
頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022164653313419791/SYS201310221646533134197025_DA/4.png">,
由同底可知:,(3分)
整理得:a2+3a+1=0,
解得:(4分)
由圖象可知:a<0,
因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(0,1),頂點(diǎn)M在第二象限,其對(duì)稱軸x=,
∴-1<a<0,
舍去,
從而.(5分)

(3)①由圖可知,A為直角頂點(diǎn)不可能;(6分)
②若C為直角頂點(diǎn),此時(shí)C點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,不合題意;(7分)
③若設(shè)B為直角頂點(diǎn),則可知AC2=AB2+BC2
令y=0,可得:0=ax2-(a+1)x+1,
解得:x1=1,x2=
得:AC=1-,BC=,AB=
則(1-2=(1+)+2,
解得:a=-1,由-1<a<0,不合題意.
所以不存在.(9分)
綜上所述:不存在.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題值函數(shù)與三角形相結(jié)合的題目,注意數(shù)與形的結(jié)合是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)C(0,
3
)
,當(dāng)x=-4和x=2時(shí),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y相等,連接AC、BC.
(1)求實(shí)數(shù)a,b,c的值;
(2)若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí),連接MN,將△BMN沿MN翻折,B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處,求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=
12
時(shí),有最大值25,而方程ax2+bx+c=0的兩根α、β,滿足α33=19,求a、b、c.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn),PQ:QR=1:3,求這個(gè)二次函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,則下列說(shuō)法:①abc>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④當(dāng)-1<x<3時(shí),y>0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是
②③④
②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•孝感)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,其圖象的一部分如圖所示.對(duì)于下列說(shuō)法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④當(dāng)-1<x<3時(shí),y>0.
其中正確的是
①②③
①②③
(把正確的序號(hào)都填上).

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