Question

【題目】已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，

（1）證明：∠APO+∠DCO＝30°；

（2）判斷△OPC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）等邊三角形，理由見解析

【解析】

（1）利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；

（2）證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形．

（1）連接OB．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°

∴AD⊥BC，

∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，

∵OP＝OC，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；

（2）等邊三角形；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，

∴∠APC+∠DCP＝150°，

∵∠APO+∠DCO＝30°，

∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等邊三角形．