Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+42交x軸于點(diǎn)A，交直線y=x于點(diǎn)B，拋物線y=ax²﹣2x+c分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．

（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．

（2）求a、c的值．

（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長．

（4）若Q為線段OB或線段AB上一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）C的縱坐標(biāo)為16，D的縱坐標(biāo)為4，(2)a=,c="10" (3)PQ=2±3(4)0≦m≦4或8≦m≦16.

【解析】

試題分析：解：(1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=﹣2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，

∴y=﹣2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10；

∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4；

（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），

∵拋物線y=ax²﹣2x+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，

∴，

解得：a=，c=10，

∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x+10；

（3）∵Q為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5，

∵點(diǎn)Q在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，

∴x²﹣2x+10=5，

解得x₁=8+2，x₂=8﹣2，

當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8+2，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為2+3，

當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8﹣2，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為2﹣3．

所以線段PQ的長為2+3或2﹣3．

（4）根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，

拋物線y=x²﹣2x+10=（x﹣8）²+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2），

聯(lián)立解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14），

①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時，如圖所示，當(dāng)0≤m≤4或8≤m≤14時，d隨m的增大而減小，

②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時，如圖所示，當(dāng)14≤m≤16時，d隨m的增大而減小，

綜上所述，當(dāng)0≤m≤4或8≤m≤16時，d隨m的增大而減�。�

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖像及性質(zhì)，一次函數(shù)圖像及性質(zhì)。

點(diǎn)評：熟知以上性質(zhì)，本題有四問較多，計算量也很大，需要細(xì)心審題解答，綜合性較強(qiáng)，易出錯，本題難度偏大，復(fù)雜，屬于難題。