Question

已知：如圖，△ABC中，D、E、F、G均為BC邊上的點，且BD=CG，EF=3DE．若S_△ABC=1，則圖中所有三角形的面積之和為________．

Answer 1

7
分析：如題圖所示的所有三角形均以A為一個頂點，一個底邊在BC上，因此所有三角形都具有相等的高，于是可將計算所有三角形面積之和的問題轉化為計算BC上所有線段長度之和的問題．
解答：∵所有線段長之和是BC的n倍，
∴圖中所有三角形面積之和就是S_△ABC的n倍．
設DE=FG=x，則BD=CG=2x，EF=3x，BC=9x．
∴圖中共有1+2+3+4+5=15個三角形，
則它們在線段BC上的底邊之和為
[BC+（BD+DC）+（BE+EC）+（BF+FC）+（BG+GC）]+[DG+（DE+EG）+（DF+FG）+EF，
=9x×5+5x×3+3x=63x，
由此可知BC上所有線段之和63x是BC=9x的7倍，
所以圖中所有三角形面積之和等于S_△ABC的7倍．
已知S_△ABC=1，故圖中所有三角形的面積之和為7．
故填：7．
點評：此題主要考查學生對三角形面積的理解和掌握，解答此題的關鍵是圖中所有三角形都具有相等的高，于是可將計算所有三角形面積之和的問題轉化為計算BC上所有線段長度之和的問題．所有三角形面積之和就是S_△ABC的n倍．這是此題的突破點．