Question

（2013•溧水縣一模）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到△DCE，連結(jié)BD，交AC于F．
（1）猜想BD與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求△BDE的面積S．

Answer 1

分析：（1）BD與DE垂直，理由為：由平移及等邊三角形的性質(zhì)得到BC=CD，∠BCD=120°，利用等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出∠CBD=30°，而∠E=60°，確定出∠BDE為直角，即可得證；
（2）由∠CBD為30°，得到BF為角平分線，利用三線合一得到BF垂直于AC，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，在直角三角形BCF中，由BC與CF長，利用勾股定理求出BF的長，繼而確定出BD的長，由平移的性質(zhì)得到DE=AC，即可求出三角形BDE的面積．

解答：解：（1）垂直，理由為：
由平移的性質(zhì)得：AB=AC=BC=CE=CD=DE，∠E=∠DCE=∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
又BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE；

（2）∵∠CBD=30°，即BF為角平分線，AB=BC，
∴F為AC中點(diǎn)，即FC=2，BF⊥AC，
在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理得：BF=2

3

，
∵BC=CD，CF⊥BD，∴F為BD中點(diǎn)，
∴DB=2BF=4

3

，
則S_△BDE=

1

2

•DB•DE=

1

2

×4

3

×4=8

3

．

點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及平移性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．