Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線L：y=-x-與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，同時，直線L繞點A順時針勻速旋轉．當⊙B第一次與⊙O相切時，直線L也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點A每秒旋轉多少度？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線的方程，可得A的坐標、點C的坐標，進而可得AO，CO的長；最后可得∠CAO=45°；
（2）根據(jù)題意，求得⊙B第一次與⊙O相切，即外切時，運動的長度與時間、直線L的位置；進而求出其旋轉的角度，最后可求得直線AC繞點A每秒旋轉的度數(shù)．
解答：解：（1）A（-，0），
∵C（0，-），
∴OA=OC．
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時，直線α旋轉到α₁恰好與⊙B₁第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，
連接B₁O，B₁N，則MN=t，OB₁=，
B₁N⊥AN，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P．則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠PAC=90°，
∴直線AC繞點A平均每秒轉動30°．
點評：本題在平面直角坐標系中，求解圓的位置關系的問題，考查學生代數(shù)與幾何知識的綜合運用能力．