Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD與⊙O相切， AD∥BC，連結(jié)OD，AC．

（1）求證：∠B=∠DCA；

（2）若tan B=，OD=， 求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

（1）見解析；（2）r=3.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠2+∠3=90°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠1+∠B=90°，根據(jù)OA=OC可得∠1=∠2，從而得出∠3=∠B；（2）根據(jù)角度的關(guān)系得出△ABC和△DCA相似，根據(jù)∠B的正切值，設(shè)AC=k，可以得到BC，AB與k的關(guān)系，根據(jù)Rt△OCD的勾股定理求出k的值.

試題解析：（1）證明：連結(jié)OC．

∵CD與⊙O相切，OC為半徑， ∴∠2+∠3=90° ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°，

∴∠1+∠B=90°， 又∵OA=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠B．

（2） ∵AD∥BC，AB是⊙O的直徑， ∴∠DAC=∠ACB=90°， ∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，

∴∠B=∠3，∴△ABC∽△DCA ∴ ∴∠B的正切值為 設(shè)AC=k，BC=2k 則AB=3k

∴ ∴DC= 在△ODC中，OD=3 OC=k ∴

∴解得：k=2 ∴⊙O的半徑長(zhǎng)為3

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)、三角形相似的應(yīng)用、勾股定理.