Question

已知：如圖1，直線y=x+b與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y=

3

x

交于第一象限中的點(diǎn)P，且S_△PBO=1，C點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．

（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，N為x軸上一點(diǎn)，過A、P、N的圓與直線AC交于點(diǎn)Q，QM⊥x軸于M，求MN；
（3）如圖3，D為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，連BD，將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，直線CE與x軸交于點(diǎn)F，則

DF-DA

EF

的值是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出其值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出xy=3，進(jìn)而得出S△POD=

3

2

，再利用一次函數(shù)解析式得出OA=OB，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出解析式即可；
（2）連接PN、QN，過P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，利用全等三角形的判定得出△NPD≌△QNM，進(jìn)而得出MN=PD即可；
（3）連接DC、BF，過E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，首先證明△FBD≌△FCD進(jìn)而得出∠BFO=∠CFO=45°，F(xiàn)O=BO=AO，再利用已知得出△BDO≌△DEH，即可得出DO=EH=

2

2

EF，即可得出答案．

解答：（1）解：如圖1，過P作PD⊥y軸，
∵直線y=x+b與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y=

3

x

，
∴xy=3，
∴S△POD=

3

2

，
∵S_△PBO=1，
∴S△PBD=

1

2

，
由條件可知A（-b，0），B（0，b），
∴OA=OB，
∴PD=BD，
∴

1

2

PD2=

1

2

，
∴PD=1，
∴P（1，3），代入解析式得：
∴b=2，
∴直線AB的解析式為：y=x+2；

（2）解：如圖2，連接PN、QN，過P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵∠PAN=∠QAN=45°，
∴PN=QN，∠PNQ=90°，
∴∠PND+∠MNQ=90°，
∵∠PND+∠NPD=90°，
∴∠NDP=∠QMN，
∵在△NPD和△QNM中

∠NDP=∠QMN ∠DPN=∠MNQ PN=QN

∴△NPD≌△QNM（AAS），
∴MN=PD=3；         

（3）解：如圖3，連接DC、BF，過E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵BO=CO，DO⊥BC，
∴DB=DC=DE，BF=CF，
∵在△FBD和△FCD中，

FB=FC BD=CD FD=FD

∴△FBD≌△FCD（SSS），
∴∠DEC=∠DCF=∠DBF，
∴∠DEF+∠DBF=180°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BFO=∠CFO=45°，F(xiàn)O=BO=AO，
∵將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDO+∠HDE=90°，∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠DBO=∠HDE，
∵在△BDO和△DEH中，

∠DOB=∠EHD ∠DBO=∠HDE BD=DE

，
∴△BDO≌△DEH（AAS），
∴DO=EH=

2

2

EF，
∴

DF-DA

EF

=

(OF+OD)-(OA-OD)

EF

=

2OD

EF

=

2× 2 2 EF

EF

=

2

．
（其它做法酌情給分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，根據(jù)已知得出DO=EH=

2

2

EF是解題關(guān)鍵．