Question

（1）計(jì)算：2^-1+2007⁰+

1

2 +1

+tan45°；
（2）化簡(jiǎn)求值：(1+

1

x-1

)•(x2-1)，其中x=

1

3

．
（3）在數(shù)學(xué)上，對(duì)于兩個(gè)數(shù)p和q有三種平均數(shù)，即算術(shù)平均數(shù)A、幾何平均數(shù)G、調(diào)和平均數(shù)H，其中A=

p+q

2

，G=

pq

．而調(diào)和平均數(shù)中的“調(diào)和”二字來自于音樂，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究發(fā)現(xiàn)，如果三根琴弦的長(zhǎng)度p=10，H=12，q=15滿足

1

10

-

1

12

=

1

12

-

1

15

，再把它們繃得一樣緊，并用同樣的力彈撥，它們將會(huì)分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲．我們稱p、H、q為一組調(diào)和數(shù)，而把H稱為p和q的調(diào)和平均數(shù)．
①若p=2，q=6，則A=

 

，G=

 

．
②根據(jù)上述關(guān)系，用p、q的代數(shù)式表示出它們的調(diào)和平均數(shù)H；并根據(jù)你所得到的結(jié)論，再寫出一組調(diào)和數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a⁰=1（a≠0）和負(fù)整數(shù)指數(shù)的意義以及特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算；
（2）先同分和因式分解得到原式=x²+x，然后代值計(jì)算；
（3）根據(jù)題目中的概念易得到A=

2+6

2

=4；G=

2×6

=2

3

；

1

p

-

1

H

=

1

H

-

1

q

，整理得到H=

2pq

p+q

，然后任意取p，q的值，通過計(jì)算得到H，這樣就可得到一組調(diào)和數(shù)．

解答：解：（1）原式=

1

2

+1+

2 -1

( 2 -1)( 2 +1)

+1，
=

1

2

+1+

2

-1+1，
=

3

2

+

2

；

（2）原式=

x

x-1

•（x+1）（x-1），
=x（x+1），
=x²+x，
當(dāng)x=

1

3

時(shí)，原式=（

1

3

）²+

1

3

=

4

9

；

（3）①A=

2+6

2

=4；G=

2×6

=2

3

；
故答案為4，2

3

；
②

1

p

-

1

H

=

1

H

-

1

q

，
∴

2

H

=

1

p

+

1

q

，
∴H=

2pq

p+q

，
3、4、9就為一組調(diào)和數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的化減求值：先把分式各分母和分子因式分解，再進(jìn)行約分，然后把符合條件的字母的值代入進(jìn)行計(jì)算．也考查了a⁰=1（a≠0）和負(fù)整數(shù)指數(shù)的意義以及特殊角的三角函數(shù)值；閱讀理解題的解法．