Question

如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點D、E分別為邊AB、AC的中點，連接CD，且BD=2DE，BC=4，則AC的長為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   8
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=BD，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BD=2DE，然后求出BD=BC=CD，判定△BCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出∠B=60°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠A=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB，然后利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：∵∠ACB=90°，點D為邊AB的中點，
∴CD=BD，
∵點D、E分別為邊AB、AC的中點，
∴BC=2DE，
又∵BD=2DE，
∴BD=BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∵BC=4，
∴AB=2BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC===4．
故選B．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的中位線定理，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質以及勾股定理的應用，熟記各性質是解題的關鍵．