從連續(xù)自然數(shù)1,2,3,…,2008中任意取n個(gè)不同的數(shù),
(1)求證:當(dāng)n=1007時(shí),無(wú)論怎樣選取這n個(gè)數(shù),總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017.
(2)當(dāng)n≤1006(n是正整數(shù))時(shí),上述結(jié)論成立否?請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)利用抽屜原理,首先,將1,2,3,…,2008分成1004對(duì),每對(duì)數(shù)的和為2009,可得至少有一個(gè)數(shù)是1001個(gè)數(shù)之一的數(shù)對(duì)至多為1001對(duì),即可得至少有3對(duì)數(shù),其次將這2008個(gè)數(shù)中的2006個(gè)數(shù)(除1004、2008外)分成1003對(duì),每對(duì)數(shù)的和為2008,可得2006個(gè)數(shù)中除去取出的數(shù)以外最多有1001個(gè)數(shù),這1003對(duì)數(shù)中,至少有2對(duì)數(shù)是x1,x2,x3,,!x1007中的4個(gè)數(shù),在三對(duì)數(shù)(m1,2009-m1),(m2,2009-m2),(m3,2009-m3),(m1,m2,m3互不相等)中至少存在1對(duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)與(k1,2008-k1)中的兩個(gè)數(shù)互不相同;因此可證得:總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017.
(2)分別從n=1006時(shí),n<1006時(shí),分析可知都與(1)矛盾,問(wèn)題得證.
解答:解:(1)設(shè)x1,x2,x3,,x1007是1,2,3,,2008中任意取出的1007個(gè)數(shù).
首先,將1,2,3,…,2008分成1004對(duì),每對(duì)數(shù)的和為2009,
每對(duì)數(shù)記作(m,2009-m),其中m=1,2,3,…,1004.
因?yàn)?008個(gè)數(shù)取出1007個(gè)數(shù)后還余1001個(gè)數(shù),所以至少有一個(gè)數(shù)是1001個(gè)數(shù)之一的數(shù)對(duì)至多為1001對(duì),
因此至少有3對(duì)數(shù),不妨記為(m1,2009-m1),(m2,2009-m2),(m3,2009-m3)(m1,m2,m3互不相等)均為x1,x2,x3,,x1007中的6個(gè)數(shù).
其次,將這2008個(gè)數(shù)中的2006個(gè)數(shù)(除1004、2008外)分成1003對(duì),每對(duì)數(shù)的和為2008,每對(duì)數(shù)記作(k,2008-k),其中k=1,2,,1003.
2006個(gè)數(shù)中至少有1005個(gè)數(shù)被取出,因此2006個(gè)數(shù)中除去取出的數(shù)以外最多有1001個(gè)數(shù),這1003對(duì)數(shù)中,至少有2對(duì)數(shù)是x1,x2,x3,,!x1007中的4個(gè)數(shù),不妨記其中的一對(duì)為(k1,2008-k1).
又在三對(duì)數(shù)(m1,2009-m1),(m2,2009-m2),(m3,2009-m3),(m1,m2,m3互不相等)中至少存在1對(duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)與(k1,2008-k1)中的兩個(gè)數(shù)互不相同,不妨設(shè)該對(duì)數(shù)為(m1,2009-m1),
于是m1+2009-m1+k1+2008-k1=4017.
(2)不成立.
當(dāng)n=1006時(shí),不妨從1,2,…,2008中取出后面的1006個(gè)數(shù):
1003,1004,,2008,
則其中任何四個(gè)不同的數(shù)之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017;
當(dāng)n<1006時(shí),同樣從1,2,,200的n個(gè)數(shù),其中任何4數(shù)之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017.
所以n≤1006時(shí)都不成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查抽屜原理的應(yīng)用,難度較大.關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用,這種方法經(jīng)常在數(shù)學(xué)證明時(shí)使用,同學(xué)們要注意掌握.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

讀一讀:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.由于上述式子比較長(zhǎng),書(shū)寫(xiě)也不方便,為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),我們可將“1+2+3+4+5+…+100”表示為
100
n=1
n
,這里“
 
 
”是求和符號(hào).例如:“1+3+5+7+9+…+99”(即從1開(kāi)始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和)可表示為
50
n=1
(2n-1)
;又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示為
10
n=1
n3
.同學(xué)們,通過(guò)對(duì)以上材料的閱讀,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
①2+4+6+8+10+…+100(即從2開(kāi)始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和)用求和符號(hào)可表示為
 

②計(jì)算:
5
n=1
(n2-1)
=
 
(填寫(xiě)最后的計(jì)算結(jié)果).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

4、n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表

這樣,從2003到2005,箭頭的方向應(yīng)為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2013•十堰模擬)閱讀下列材料后回答問(wèn)題:
讀一讀:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.由于上述式子比較長(zhǎng),書(shū)寫(xiě)也不方便,為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),我們可將“1+2+3+4+5+…+100”表示為
100
n=1
n
,這里“∑ ”是求和符號(hào),例如:“1+3+5+7+9+…+99”(即從1開(kāi)始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和)可表示為
50
n=1
(2n-1)

通過(guò)對(duì)以上材料的閱讀,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
①2+4+6+8+10+…+100(即從2開(kāi)始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和)用求和符號(hào)可表示為
50
n=1
2n
50
n=1
2n
;
②計(jì)算
50
n=1
(n2-1)
12+22+32+…+502-50
12+22+32+…+502-50
=
42875
42875
.(填寫(xiě)最后的計(jì)算結(jié)果).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)仔細(xì)觀察下列式子:(a×b)2=a2×b2,(a×b)3=a3×b3,(a×b)4=a4×b4
猜一猜:(a×b)100=
a100×b100
a100×b100

歸納得出:(a×b)n=
an×bn
an×bn

請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算:(-
14
2011×42012
(2)如下數(shù)表是由從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)組成,觀察規(guī)律并完成各題的解答.
1
2    3    4
5    6    7    8    9
10   11   12   13   14   15   16
17   18   19   20   21   22   23   24   25
26   27   28   29   30   31   32   33   34   35   36

(1)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是
64
64
,它是自然數(shù)
8
8
的平方,第8行共有
15
15
個(gè)數(shù);
(2)用含n的代數(shù)式表示:第n行的第一個(gè)數(shù)是
(n-1)2+1
(n-1)2+1
,最后一個(gè)數(shù)是
n2
n2
,第n行共有
(2n-1)
(2n-1)
個(gè)數(shù).

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