Question

從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，2008中任意取n個(gè)不同的數(shù)，
（1）求證：當(dāng)n=1007時(shí)，無(wú)論怎樣選取這n個(gè)數(shù)，總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017．
（2）當(dāng)n≤1006（n是正整數(shù)）時(shí)，上述結(jié)論成立否？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用抽屜原理，首先，將1，2，3，…，2008分成1004對(duì)，每對(duì)數(shù)的和為2009，可得至少有一個(gè)數(shù)是1001個(gè)數(shù)之一的數(shù)對(duì)至多為1001對(duì)，即可得至少有3對(duì)數(shù)，其次將這2008個(gè)數(shù)中的2006個(gè)數(shù)（除1004、2008外）分成1003對(duì)，每對(duì)數(shù)的和為2008，可得2006個(gè)數(shù)中除去取出的數(shù)以外最多有1001個(gè)數(shù)，這1003對(duì)數(shù)中，至少有2對(duì)數(shù)是x₁，x₂，x₃，，!x₁₀₀₇中的4個(gè)數(shù)，在三對(duì)數(shù)（m₁，2009-m₁），（m₂，2009-m₂），（m₃，2009-m₃），（m₁，m₂，m₃互不相等）中至少存在1對(duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)與（k₁，2008-k₁）中的兩個(gè)數(shù)互不相同；因此可證得：總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017．
（2）分別從n=1006時(shí)，n＜1006時(shí)，分析可知都與（1）矛盾，問(wèn)題得證．

解答：解：（1）設(shè)x₁，x₂，x₃，，x₁₀₀₇是1，2，3，，2008中任意取出的1007個(gè)數(shù)．
首先，將1，2，3，…，2008分成1004對(duì)，每對(duì)數(shù)的和為2009，
每對(duì)數(shù)記作（m，2009-m），其中m=1，2，3，…，1004．
因?yàn)?008個(gè)數(shù)取出1007個(gè)數(shù)后還余1001個(gè)數(shù)，所以至少有一個(gè)數(shù)是1001個(gè)數(shù)之一的數(shù)對(duì)至多為1001對(duì)，
因此至少有3對(duì)數(shù)，不妨記為（m₁，2009-m₁），（m₂，2009-m₂），（m₃，2009-m₃）（m₁，m₂，m₃互不相等）均為x₁，x₂，x₃，，x₁₀₀₇中的6個(gè)數(shù)．
其次，將這2008個(gè)數(shù)中的2006個(gè)數(shù)（除1004、2008外）分成1003對(duì)，每對(duì)數(shù)的和為2008，每對(duì)數(shù)記作（k，2008-k），其中k=1，2，，1003．
2006個(gè)數(shù)中至少有1005個(gè)數(shù)被取出，因此2006個(gè)數(shù)中除去取出的數(shù)以外最多有1001個(gè)數(shù)，這1003對(duì)數(shù)中，至少有2對(duì)數(shù)是x₁，x₂，x₃，，!x₁₀₀₇中的4個(gè)數(shù)，不妨記其中的一對(duì)為（k₁，2008-k₁）．
又在三對(duì)數(shù)（m₁，2009-m₁），（m₂，2009-m₂），（m₃，2009-m₃），（m₁，m₂，m₃互不相等）中至少存在1對(duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)與（k₁，2008-k₁）中的兩個(gè)數(shù)互不相同，不妨設(shè)該對(duì)數(shù)為（m₁，2009-m₁），
于是m₁+2009-m₁+k₁+2008-k₁=4017．
（2）不成立．
當(dāng)n=1006時(shí)，不妨從1，2，…，2008中取出后面的1006個(gè)數(shù)：
1003，1004，，2008，
則其中任何四個(gè)不同的數(shù)之和不小于1003+1004+1005+1006=4018＞4017；
當(dāng)n＜1006時(shí)，同樣從1，2，，200的n個(gè)數(shù)，其中任何4數(shù)之和大于1003+1004+1005+1006=4018＞4017．
所以n≤1006時(shí)都不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽屜原理的應(yīng)用，難度較大．關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用，這種方法經(jīng)常在數(shù)學(xué)證明時(shí)使用，同學(xué)們要注意掌握．