在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,
點(diǎn)B(-2,n)在這條拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將直線沿y軸向下平移b個(gè)單位后得到直線l,
若直線l經(jīng)過(guò)B點(diǎn),求n、b的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,直線l與y軸交于點(diǎn)D,且與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E.若P是拋物線上一點(diǎn),且PB=PE,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
(1);(2)3,1;(3)(
,
)或(
,
).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)即可求得m的值,再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可得到結(jié)果;
(2)由點(diǎn)B(-2,n)在拋物線上可求得n的值,即得B點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)平移的規(guī)律可得直線l的解析式為
,由直線l經(jīng)過(guò)B點(diǎn)即可求得結(jié)果;
(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,則對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),直線l與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 D(0,-1)、E(2,-5).過(guò)點(diǎn)B作BG⊥直線x=2于G,與y軸交于F.則BG=4.在Rt△BGC中,根據(jù)勾股定理可求得CB的長(zhǎng),過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H.則點(diǎn)H的坐標(biāo)為 (0,-5).證得△DFB≌△DHE,即可得到點(diǎn)P在直線CD上,即有符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn).設(shè)直線CD的解析式為y="kx+a." 將D(0,-1)、C(2,0)代入即可求得直線CD的解析式,從而求得結(jié)果.
(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),
∴m2-6m+8=0.解得m1=2,m2=4.
由題意知m¹4,
∴m=2
∴拋物線的解析式為;
(2)∵點(diǎn)B(-2,n)在拋物線上,
∴n=3.
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(–2,3) .
∵直線l的解析式為,直線l經(jīng)過(guò)B點(diǎn),
∴.
∴;
(3)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,直線l的解析式為y=-2x-1,
∴拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),
直線l與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 D(0,-1)、E(2,-5).
過(guò)點(diǎn)B作BG⊥直線x=2于G,與y軸交于F.
則BG=4.
在Rt△BGC中,.
∵CE=5,
∴CB=CE.
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H.
則點(diǎn)H的坐標(biāo)為 (0,-5).
∵點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE .
∴DB="DE."
∵PB=PE,
∴點(diǎn)P在直線CD上.
∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn).
設(shè)直線CD的解析式為y="kx+a."
將D(0,-1)、C(2,0)代入,得 解得
∴直線CD的解析式為.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,),
∴=
.
解得 ,
.
∴,
.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,
)或(
,
).
考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng):此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),在中考中極為常見(jiàn),一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.
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