Question

如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A′B′C′D′，圖中陰影部分的面積為

1. A.
   a²
2. B.
   a²
3. C.
   （1-）a²
4. D.
   （1-）a²

Answer 1

D
分析：設(shè)B′C′與CD交于點(diǎn)E．由于陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}，又S_{正方形ABCD}=a ²，所以關(guān)鍵是求S_{四邊形AB′ED}．為此，連接AE．根據(jù)HL易證△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定義得出DE=AD•tan∠DAE=a．再利用三角形的面積公式求出S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE．
解答：解：設(shè)B′C′與CD交于點(diǎn)E，連接AE．
在△AB′E與△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=a．
∴S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE=2××a×a=a²．
∴陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}=（1-）a ²．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定及性質(zhì)，圖形的面積以及三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．