Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，P是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)不與C、D重合），過(guò)點(diǎn)P作直線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，且CP=CE，連接DE、BP、BF，設(shè)CP═x，△PBF的面積為S1 ， △PDE的面積為S2 ．

（1）求證：BP⊥DE．
（2）求S1﹣S2關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（3）分別求當(dāng)∠PBF=30°和∠PBF=45°時(shí)，S1﹣S2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，延長(zhǎng)BP交DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE，

∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，

∴∠CDE+∠DPM=90°，

∴∠DMP=90°，

∴BP⊥DE．

（2）解：由題意S1﹣S2= （4+x）x﹣ （4﹣x）x=x2（0＜x＜4）．
（3）解：①如圖2中，當(dāng)∠PBF=30°時(shí)，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，

∴∠PFD=∠DPF=45°，

∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，

∴△BAF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP=30°，

∴x=PC=BCtan30°= ，

∴S1﹣S2=x2= ．

②如圖3中，當(dāng)∠PBF=45°時(shí)，在CB上截取CN=CP，理解PN．

由①可知△ABF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP，

∵∠PBF=45°，

∴∠CBP=22.5°，

∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，

∴∠NBP=∠NPB=22.5°，

∴BN=PN= x，

∴ x+x=4，

∴x=4 ﹣4，

∴S1﹣S2=（4 ﹣4）2=48﹣32 ．

【解析】（1）首先延長(zhǎng)BP交DE于M．然后依據(jù)SAS可證明△BCP≌△DCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；
（2）根據(jù)題意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）分當(dāng)∠PBF=30°和∠PBF=45°兩種情形分別求出PC的長(zhǎng)，最后再利用（2）中結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．