Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線DC與x軸相交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，OE等于多少；

（2）OE的長是否與a值有關(guān)，說明你的理由；

（3）設(shè)∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范圍；

（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設(shè)P（m，n），直接寫出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結(jié)論：OE的長與a值無關(guān)．理由見解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．

【解析】

(1)求出直線CD的解析式即可解決問題；

(2)利用參數(shù)a，求出直線CD的解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可判斷；

(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；

(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

解：(1)當(dāng)a=﹣1時(shí)，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

∴頂點(diǎn)D(﹣1，4)，C(0，3)，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

(2)結(jié)論：OE的長與a值無關(guān)．

理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，

∴直線CD的解析式為y=ax﹣3a，

當(dāng)y=0時(shí)，x=3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

∴OE的長與a值無關(guān)．

(3)當(dāng)β=45°時(shí)，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

當(dāng)β=60°時(shí)，在Rt△OCE中，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣，

∴45°≤β≤60°，a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．

(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN，

∴PM=PN，PM=EN，

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，

∴EN=4+n=3﹣m，

∴n=﹣m﹣1，

當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時(shí)，P(1，﹣2)，此時(shí)m的值1，

∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，

∴m＜1．

∴n=﹣m﹣1(m＜1)．

故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長與a值無關(guān)；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．