Question

【題目】如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點(diǎn) P 在線段 AB 上以 1的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 在線段 BD 上由點(diǎn) B 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 （s）．

（1）若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)＝1 時(shí)，△ACP 與△BPQ 是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由， 并判斷此時(shí)線段 PC 和線段 PQ 的位置關(guān)系；

（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP 與△BPQ 全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）全等，垂直，理由詳見(jiàn)解析；（2）存在，或

【解析】

（1）在t =1的條件下，找出條件判定△ACP和△BPQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)，可證∠CPQ= 90°，即可判斷線段 PC 和線段 PQ 的位置關(guān)系;
（2）本題主要在動(dòng)點(diǎn)的條件下，分情況討論，利用三角形全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

(1)當(dāng)t=1時(shí)，AP= BQ=1, BP= AC=3,

又∠A=∠B= 90°，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ(SAS).

∴∠ACP=∠BPQ ,

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.

∴∠CPQ= 90°，

即線段PC與線段PQ垂直；

(2)①若△ACP≌△BPQ，

則AC= BP，AP= BQ，

解得;

②若△ACP≌△BQP，

則AC= BQ，AP= BP，

解得：

綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等.