Question

（2006•臨沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如圖1，根據(jù)勾股定理，則a²+b²=c²．若△ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請(qǐng)你類(lèi)比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，根據(jù)AD不變由勾股定理得出等式b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
，化簡(jiǎn)得出a²+b²＞c²．當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D．設(shè)CD為y，根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²．化簡(jiǎn)得出a²+b²＜c²．
解答：解：若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²（1分）
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²．（2分）
當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，
證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，則有BD=a-x（3分）
根據(jù)勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
∴a²+b²=c²+2ax（5分）
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²．（6分）
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，
證明：過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D．
設(shè)CD為y，則有BD²=a²-y²（7分）
根據(jù)勾股定理，得（b+y）²+a²-y²=c²．
即a²+b²+2by=c²．（9分）
∵b＞0，y＞0，
∴2by＞0，
∴a²+b²＜c²．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用．通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．