Question

如圖①，梯形ABCD中，∠C=90°．動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E沿折線BA-AD-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s．設(shè)E、F出發(fā)ts時(shí)，△EBF的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)圖象如圖②所示，其中曲線OM為拋物線的一部分，MN、NP為線段．請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）梯形上底的長(zhǎng)AD=______cm，梯形ABCD的面積______cm²；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在BA、DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別求出y與t的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍）；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：2？

Answer 1

【答案】分析：（1）此題的關(guān)鍵是要理解分段函數(shù)的意義，OM段是曲線，說(shuō)明E、F分別在BA、BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y、t的關(guān)系式是二次函數(shù)；MN段是線段，且平行于t軸，那么此時(shí)F運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)C，且E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y為定值；NP段是線段，此時(shí)y、t的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)，此時(shí)E在線段CD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y值隨t的增大而減�。�
根據(jù)上面的分析，可知在MN之間時(shí)，E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)區(qū)間E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了2秒，所以AD=2cm；
根據(jù)OM段的函數(shù)圖象知：當(dāng)t=5時(shí)，E、F分別運(yùn)動(dòng)到A、C兩點(diǎn)，那么AB=BC=5；根據(jù)MN段函數(shù)圖象知：此時(shí)△BEF的面積為10，可據(jù)此求出梯形的高為4，進(jìn)而可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形ABCD的面積；
（2）利用待定系數(shù)法分別求兩個(gè)解析式；
（3）當(dāng)E在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EBF的面積為10，顯然不符合題意，所以當(dāng)△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：2時(shí)，E點(diǎn)一定在線段BA或線段CD上，可將△EBF的面積（即梯形面積的一半）代入（2）題求得的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，即可得到所求的t值．
解答：解：（1）由圖可知：OM段為拋物線，此時(shí)點(diǎn)E、F分別在BA、BC上運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)E、A重合，F(xiàn)、C重合時(shí)，t=5s，
∴AB=BC=5cm；
MN段是線段，且平行于t軸，此時(shí)F運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)C，E點(diǎn)在線段AD上運(yùn)動(dòng)；
∴AD=1×2=2cm，CD=2×S_△BEF÷BC=2×10÷5=4cm；
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=×（2+5）×4=14cm²；
故填：2，14；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=at²，把M點(diǎn)的坐標(biāo)（5，10）代入得a=，
∴y=t²，0≤t≤5；
當(dāng)點(diǎn)E在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為y=kt+b，
把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=-，b=，
所以y=-t+，（7＜t≤11）

（3）當(dāng)0＜t≤5時(shí)，t²=×14，
∴t=；
當(dāng)7＜t≤11時(shí)，-t+=×14，
∴t=8.2；
∴t=s或8.2s時(shí)，△BEF與梯形ABCD的面積比為1：2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用、梯形的性質(zhì)以及圖形面積的求法；能夠正確的理解分段函數(shù)的意義是解答此題的關(guān)鍵．