Question

已知：關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax²-bx+kc（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1。（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；
（2）求代數(shù)式的值；
（3）求證：關(guān)于x的一元二次方程ax²-bx+c=0②必有兩個不相等的實數(shù)根。

Answer 1

解：（1）由kx=x+2，得（k-1）x=2，依題意k-1≠0
∴x=，
∵方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù)，
∴k-1=1或k-1=2，
∴k₁=2，k₂=3；
（2）依題意，二次函數(shù)y=ax²-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0），
∴0=a-b+kc，kc=b-a，
∴-1；
（3）證明：方程②的判別式為△=（-b）²-4ac=b²-4ac，
由a≠0，c≠0，得ac≠0，
（Ⅰ）若ac<0，則-4ac>0，故△=b²-4ac>0，此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根，
（Ⅱ）若ac>0，由（2）知a-b+kc=0，故b=a+kc
△=b²-4ac=（a+kc）²-4ac=a²+2kac+（kc）²-4ac=a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac=（a-k）²+4ac（k-1）
∵方程k=x+2的根為正實數(shù)，
∴方程（k-1）x=2的根為正實數(shù)，由x>0，2>0，得k-1>0，
∴4ac（k-1）>0，
∵（a-k）²≥0，
∴△=（a-kc）²+4ac（k-1）>0此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根，
綜上，方程②必有兩個不相等的實數(shù)根。