Question

【題目】已知：在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到直線(xiàn)AD的距離相等．
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，則點(diǎn)D的位置在；

（2）如圖2，若△ABC是任意一個(gè)銳角三角形，猜想點(diǎn)D的位置是否發(fā)生變化，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并加以證明；

（3）如圖3，當(dāng)△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且點(diǎn)D滿(mǎn)足（2）的位置條件，用等式表示線(xiàn)段AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）點(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)
（2）證明：如圖1，作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，

∵BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，

∴∠3=∠4=90°，

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD．

∴BD=DC．即點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．

（3）證明：如圖2，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H使DH=AD，連接HC．

∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

∴BD=DC．

在△ABD和△HCD中，

∴△ABD≌△HCD．

∴∠1=∠3，AB=CH．

∵∠A=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠ACH=90°．

∴AC2+CH2=AH2．

又∵DH=AD，

∴AC2+AB2=（2AD）2．

∴AC2+AB2=4AD2．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形底邊上的三線(xiàn)合一知D點(diǎn)在BC的中點(diǎn)處；
（2）作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)垂直的定義得出∠3=∠4=90°，然后利用AAS判斷出△BED≌△CFD．根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出BD=DC．即點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)；
（3）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H使DH=AD，連接HC．根據(jù)中點(diǎn)定義得BD=DC，然后由SAS判斷出△ABD≌△HCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠1=∠3，AB=CH．然后根據(jù)等量代換得出∠ACH=90°．根據(jù)夠勾股定理得出AC2+CH2=AH2．又因DH=AD，故AC2+AB2=（2AD）2，即AC2+AB2=4AD2．