Question

某校組織學生到涪江河某段測量兩岸的距離，采用了兩種方案收集數據．
方案一：如圖，從C點找準對岸一參照點D，使CD垂直于河岸線l，沿河岸行走至E點，測出CE的長度后，再用電子測角器測出CE與ED的夾角α；
方案二：如圖，先從河岸上選一點A，測出A到河面的距離h．再用電子測角器測出A點到對岸河面的俯角β．

（1）學生們選用不同的位置測量后得出以下數據，請通過計算填寫下表：（精確到0.1米）
方案一：

測量次數	1	2	3
EC（單位：米）	100	150	200
α	76°33′	71°35′	65°25′
計算得出河寬 （單位：米）

方案二：

測量次數	1	2	3
EC（單位：米）	14.4	13.8	12.5
β	1°24′	2°16′	1°56′
計算得出河寬 （單位：米）

（參考數據：tan1°24′=0.0244、tan2°16′=0.0396、tan1°56′=0.0338、tan76°33′=4.1814、tan71°35′=3.0032、tan65°25′=2.1859）
（2）由（1）表中數據計算：
方案一中河兩岸平均寬為

 

米；
方案二中河兩岸平均寬為

 

米；
（3）判斷河兩岸寬大約為

 

米；（從下面三個答案中選取，填入序號）
①390～420        ②420～450         ③350～480
（4）求出方案一的方差S₁²和方案二的方差S₂²，判斷用哪種方案測量的誤差較小．（精確到1）

Answer 1

分析：（1）方案一的直角三角形CDE中，CD=tanα•CE，代入α和CE的值可求得方案一中河寬，方案二的直角三角形中河寬=h÷tanβ，代入β和h的值可求得方案二中河寬；
（2）利用求平均數公式可計算方案一和方案二中的河兩岸平均寬度；
（3）根據（2）中計算的平均寬度可判斷河兩岸寬大約為420～450；
（4）由（2）知兩種方案的平均數，利用方差公式可求出方案一的方差S₁²和方案二的方差S₂²．再利用方差進行比較，可判斷用哪種方案測量的誤差較�。�

解答：解：（1）方案一：在Rt△CDE中，CD₁=100tan76°33′=418.1米，
CD₂=150tan71°35′=450.5米，CD₃=200tan65°25′=437.2米．
方案一：

測量次數	1	1	3
EC（單位：米）	100	150	200
α	76°33′	71°35′	65°25′
計算得出河寬 （單位：米）	418.1	450.5	437.2

方案二：河寬=h÷tanβ，分別代入表格中的數據得，河寬1=14.4÷tan1°24′=590.2米，
河寬2=13.8÷tan2°16′=348.5米，河寬3=12.5÷tan1°56′=369.8米；
方案二：

測量次數	1	2	3
EC（單位：米）	14.4	13.8	12.5
β	1°24′	2°16′	1°56′
計算得出河寬 （單位：米）	590.2	348.5	369.8

（2）方案一中河兩岸平均寬度=（481.1+450.5+437.2）÷3=435.3，
方案二中河兩岸平均寬度=（590.2+348.5+369.8）÷3=436.2；

（3）由（2）的結果知河兩岸寬大約為420～450；

（4）S₁²=

1

3

[（418.1-435.3）²+（450.5-435.3）²+（4.7.2-435.3）²]=177，
S₂²=

1

3

[（590.2-436.2）²+（348.5-436.2）²+（369.8-436.2）²]=11939
所以，S₁²＜S₂²，采用第一種方案誤差較�。�

點評：運用三角函數解直角三角形，再運用平均數和方差的公式分別求出兩種方案中的平均數和方差，進行比較，得出結論．考查范圍比較廣．