Question

求證：sin18°=

5 -1

4

．

Answer 1

分析：由于黃金三角形的頂角為36°，其底與一腰之長之比為黃金比，所以作出黃金三角形頂角的角平分線，即可證明sin18°=

5 -1

4

．

解答：證明：如圖，△ABC是黃金三角形，則∠BAC=36°，AB=AC，BC：AB=

5 -1

2

．
作∠BAC的角平分線AD，則AD⊥BC，BD=DC=

1

2

BC．
在直角△ABD中，∠ADB=90°，
則sin18°=sin∠BAD=

BD

AB

=

1 2 BC

AB

=

1

2

×

5 -1

2

=

5 -1

4

．
即sin18°=

5 -1

4

．

點評：本題考查了黃金分割的定義及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角形的定義，難度中等，能夠考慮到運用黃金三角形進行證明是解題的關鍵．