Question

如圖1，拋物線y=x²+x-4與y軸交于點(diǎn)A，E（0，b）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線y=x+b與拋物線交于點(diǎn)B、C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)b=0時(shí)（如圖2），求△ABE與△ACE的面積．
（3）當(dāng)b＞-4時(shí)，△ABE與△ACE的面積大小關(guān)系如何？為什么？
（4）是否存在這樣的b，使得△BOC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x=0，代入拋物線的解析式即可；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，直線為y=x，解由y=x和y=x²+x-4組成的方程組即可求出B、C的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出面積；
（3）當(dāng)b＞-4時(shí)，△ABE與△ACE的面積相等，理由是解由直線和拋物線組成的方程組，即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，作BF⊥y軸，CG⊥y軸，垂足分別為F、G，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到△ABE和△ACE是同底的兩個(gè)三角形，即可得出答案；
（4）存在這樣的b，根據(jù)全等三角形的判定證△BEF≌△CEG，推出BE=CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，當(dāng)OE=CE時(shí)，△OBC為直角三角形，代入即可求出b的值．
解答：解：（1）將x=0，代入拋物線的解析式得：y=-4，
得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-4），
答：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-4）．

（2）當(dāng)b=0時(shí)，直線為y=x，
由，
解得，，
∴B、C的坐標(biāo)分別為B（-2，-2），C（2，2），
，，
答：△ABE的面積是4，△ACE的面積是4．

（3）當(dāng)b＞-4時(shí)，S_△ABE=S_△ACE，
理由是：由，
解得，，
∴B、C的坐標(biāo)分別為：
B（-，-+b），C（，+b），
作BF⊥y軸，CG⊥y軸，垂足分別為F、G，
則，
而△ABE和△ACE是同底的兩個(gè)三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．
答：當(dāng)b＞-4時(shí)，△ABE與△ACE的面積大小關(guān)系是相等．

（4）存在這樣的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E為BC的中點(diǎn)，
所以當(dāng)OE=CE時(shí)，△OBC為直角三角形，
∵B（-，-+b），E（0，b），
∴GE=EF=|-（+b）+b|==CG
GE=GC=，
∴，而OE=|b|，
∴，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴當(dāng)b=4或-2時(shí)，△OBC為直角三角形，
答：存在這樣的b，使得△BOC是以BC為斜邊的直角三角形，b的值是4或-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解二元一次方程組，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)．