Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)， 與y軸交于點(diǎn)C（0，2）， 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）求sin∠ABC的值；

（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)線(xiàn)段EF最長(zhǎng)？求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）解析式為；

（2）；

（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）、（，4）或（，－）．

（4）當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，線(xiàn)段EF最長(zhǎng)．

【解析】試題分析: （1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c列方程組即可．

（2）令y=0，求出x的值，可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，即可求sin∠ABC的值；

（3）由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱(chēng)軸于P1，以點(diǎn)D為圓心CD為半徑作圓交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P2，P3，作CE垂直于對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；

（4）設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x+2），就可以表示出F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出答案．

試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），C（0，2），

∴b=,c=2．

∴解析式為．

(2)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），

∴BC=．

．

(3)存在．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0），

．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）、（，4）或（，－ ）．

(4)設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為

∵B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2），

∴4m+n=0,n=2,

∴m=,n=2

∴直線(xiàn)BC的解析式為．

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為,則F點(diǎn)坐標(biāo)為

∴當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，線(xiàn)段EF最長(zhǎng)．