如圖(1),已知正方形ABCD在直線MN的上方,BC在直線MN上,E是BC上一點(diǎn),以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG.
(1)連接GD,求證:△ADG≌△ABE;
(2)連接FC,觀察并猜測(cè)∠FCN的度數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)如圖(2),將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b為常數(shù)),E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小是否總保持不變?若∠FCN的大小不變,請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小發(fā)生改變,請(qǐng)舉例說(shuō)明.
【答案】分析:(1)根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可.
(2)作FH⊥MN于H.先證△ABE≌△EHF,得到對(duì)應(yīng)邊相等,從而推出△CHF是等腰直角三角形,∠FCH的度數(shù)就可以求得了.
(3)本題也是通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求度數(shù),作FH⊥MN于H,∠FCH的正切值就是FH:CH.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG.

(2)解:∠FCN=45°,
理由是:作FH⊥MN于H,
∵∠AEF=∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,
∴∠FEH=∠BAE,
又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,
∴△EFH≌△ABE,
∴FH=BE,EH=AB=BC,
∴CH=BE=FH,
∵∠FHC=90°,
∴∠FCN=45°.

(3)解:當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小總保持不變,
理由是:作FH⊥MN于H,
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,
結(jié)合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,
又∵G在射線CD上,
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,
∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,
∴EH=AD=BC=b,
∴CH=BE,
==
在Rt△FEH中,tan∠FCN===
∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小總保持不變,tan∠FCN=
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形,矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,其重點(diǎn)是通過(guò)證三角形全等或相似來(lái)得出線段的相等或成比例.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖(1),已知,矩形ABCD的邊AD=3,對(duì)角線長(zhǎng)為5,將矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限.
①求圖(1)中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少?
②若矩形ABCD從圖(1)的位置開始沿x軸的正方向移動(dòng),每秒移動(dòng)1個(gè)單位,1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上,如圖(2),求反比例函數(shù)的表達(dá)式.
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng),AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點(diǎn),如圖(3),設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為t(1<t<5),分別寫出△PBC的面積S1、△QDC的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)t為何值時(shí),S2=
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S1?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖甲所示,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);
(1)求拋物線函數(shù)關(guān)系式;
(2)矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3,將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移,同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖乙所示).
①當(dāng)t=
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時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
③現(xiàn)將甲圖中的拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于G、F兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)Q,設(shè)△FGQ的面積為S,求S關(guān)于m的函關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖(1),已知,矩形ABCD的邊AD=3,對(duì)角線長(zhǎng)為5,將矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限.
①求圖(1)中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少?
②若矩形ABCD從圖(1)的位置開始沿x軸的正方向移動(dòng),每秒移動(dòng)1個(gè)單位,1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上,如圖(2),求反比例函數(shù)的表達(dá)式.
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng),AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點(diǎn),如圖(3),設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為t(1<t<5),分別寫出△PBC的面積S1、△QDC的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)t為何值時(shí),S2=數(shù)學(xué)公式S1?

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①求圖(1)中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少?
②若矩形ABCD從圖(1)的位置開始沿x軸的正方向移動(dòng),每秒移動(dòng)1個(gè)單位,1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上,如圖(2),求反比例函數(shù)的表達(dá)式.
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng),AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點(diǎn),如圖(3),設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為t(1<t<5),分別寫出△PBC的面積S1、△QDC的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)t為何值時(shí),S2=S1?

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(1)求拋物線函數(shù)關(guān)系式;
(2)矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3,將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移,同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖乙所示).
①當(dāng)時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
③現(xiàn)將甲圖中的拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于G、F兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)Q,設(shè)△FGQ的面積為S,求S關(guān)于m的函關(guān)系式.

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