Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以點A為圓心，AC為半徑，作⊙A，交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線交⊙A于點F，連接AF，BF，DF．

（1）求證：△ABC≌△ABF；

（2）填空：

①當∠CAB＝　 　°時，四邊形ADFE為菱形；

②在①的條件下，BC＝　 　cm時，四邊形ADFE的面積是6cm2．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60；（3）6.

【解析】

（1）首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等即可；

（2）當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形，根據(jù)∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷四邊形ADFE是菱形；

（3）設(shè)菱形AEFD的邊長為a，易知△AEF、△AFD都是等邊三角形，列出方程求出a，再在RT△ACB中，利用勾股定理即可解決問題．

（1）證明：∵EF∥AB，

∴∠E＝∠CAB，∠EFA＝∠FAB，

∵∠E＝∠EFA，

∴∠FAB＝∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF；

（2）當∠CAB＝60°時，四邊形ADFE為菱形，

證明：∵∠CAB＝60°，

∴∠FAB＝∠CAB＝∠CAB＝60°，

∴EF＝AD＝AE，

∴四邊形ADFE是菱形，

故答案為60．

（3）∵四邊形AEFD是菱形，設(shè)邊長為a，∠AEF＝∠CAB＝60°，

∴△AEF、△AFD都是等邊三角形，

由題意：2×a2＝6，

∴a2＝12，

∵a＞0，

∴a＝2，

∴AC＝AE＝2，

在RT△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠CAB＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝4，BC＝＝6．

故答案為6．