Question

（2005•畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求證：
（1）AD=BD=BC；
（2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，和題中給出的角的度數(shù)，可求得各角的度數(shù)，從而得出AD=BD=BC．
（2）利用三角形的相似來證明點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．
解答：證明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD²=AC•DC，
∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：（1）考查了等腰三角形的判定；
（2）考查了學(xué)生黃金分割點(diǎn)的證明，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．