Question

探究發(fā)現：

如圖1，△ABC是等邊三角形，點E在直線BC上，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF于點F，當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；

數學思考：某數學興趣小組在探究AE，EF的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，通過驗證得出如下結論：

當點E是直線BC上（B，C除外）（其它條件不變），結論AE=EF仍然成立．請你從“點E在線段BC上”；“點E在線段BC延長線”；“點E在線段BC反向延長線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明AE=EF．

拓展應用：當點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在圖3中畫出圖形，并運用上述結論求出的值．

 

Answer 1

證明見試題解析，．

【解析】

試題分析：根據等邊三角形的性質，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根據三角形外角的性質，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根據ASA，可得△AGE≌△ECF，根據全等三角形的性質，可得結論；

根據等邊三角形的判定，可得△AEF是等邊三角形，根據等邊三角形相似，可得△ABC與△AEF的關系，根據等腰三角形的性質，可得AC與AH的關系，AC與AE的關系，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案．

試題解析：如圖一，在AB上截取AG，使AG=EC，連接EG，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等邊三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分線，∴∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∵∠GAE=∠CEF，AG=EC，∠AGE=∠ECF，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；

拓展應用：如圖二：

∵△ABC是等邊三角形，BC=CE，∴CE=BC=AC，∴∠CAH=30°，作CH⊥AE于H點，∴∠AHC=90°．∴CH=AC，AH=AC，∵AC=CE，CH⊥AE，∴AE=2AH=AC，∴，由數學思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴△ABC ∽△AEF，∴===．

考點：1．相似形綜合題；2．全等三角形的判定與性質．