Question

如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為（ ）
A．1
B．1.2
C．1.3
D．1.5

Answer 1

【答案】分析：根據勾股定理的逆定理可以證明∠BAC=90°；根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，則AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根據三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據矩形的對角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．
解答：解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中點，
∴AM=EF=AP．
因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2．
故選B．
點評：此題綜合運用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質、直角三角形的性質．
要能夠把要求的線段的最小值轉換為便于分析其最小值的線段．