Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

4

x+

9

4

分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是射線AB上一點(diǎn)，CD⊥x軸于點(diǎn)D，且CD=3．
（1）求證：△AOB∽△ADC；
（2）求線段AD的長度；
（3）在x軸上找一點(diǎn)E，連接CE，使得△ACE與△ACD相似（不包括全等），并求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P、Q分別是線段AC、AE上的動點(diǎn)，連接PQ．設(shè)AP=EQ=m，是否存在實數(shù)m，使得△APQ與△AEC相似？如存在，請求出實數(shù)m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BO∥DC，利用相似三角形的判定得出即可；
（2）利用△AOB∽△ADC，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出AO，OB，的長度，求出AD即可；
（3）首先得出Rt△ACD∽Rt△AEC，再利用tan∠ACD=tan∠CED=

4

3

，進(jìn)而求出即可；
（4）在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=5，當(dāng)PQ∥CE時，△APQ∽△ACE，解得 m=

25

9

；當(dāng)PQ⊥AE時，△APQ∽△AEC，則解得 m=

125

36

．

解答：（1）證明：∵CD⊥x軸于點(diǎn)D，∠BOD=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：∵直線y=

3

4

x+

9

4

分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴0=

3

4

x+

9

4

，
∴x=-3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，

9

4

），
∵△AOB∽△ADC；
∴

AO

AD

=

OB

CD

，
∵AO=3，OB=

9

4

，CD=3，
∴

3

AD

=

9 4

3

，
∴AD=4，

（3）解：如圖，過點(diǎn)C作EC⊥AC，交x軸于點(diǎn)E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E點(diǎn)為所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=

4

3

，
∴DE=CD÷tan∠CED=3÷

4

3

=

9

4

，
∴OE=OD+ED=

13

4

，
∴E（

13

4

，0）；


（4）解：這樣的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
如圖1，當(dāng)PQ∥CE時，△APQ∽△ACE則

m

5

=

3+ 13 4 -m

3+ 13 4

，
解得 m=

25

9

，
如圖2，當(dāng)PQ⊥AE時，△APQ∽△AEC，
則

m

3+ 13 4

=

3+ 13 4 -m

5

，
解得 m=

125

36

．
故存在m的值是

25

9

或

125

36

時，使得△APQ與△AEC相似．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．