Question

如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，D為AC的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)E．
（1）△ABE與△DBC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若BC=5，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC為半圓的直徑，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得）△ABE與△DBC相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可得∠AEB=∠DCB，則由sin∠AEB=sin∠DCB即可求得sin∠AEB的值；
（3）先判斷△DCE∽△DBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得弦AB的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=，
∴BD=，
∴sin∠AEB=sin∠DCB=；

（3）∵D為AC的中點(diǎn)，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
∴DE=，
∴BE=BD-DE=，
∴AB=BE•sin∠AEB=•=3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．