Question

如圖，已知拋物線與x交于A（-1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得c=3，故設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+3，根據(jù)拋物線所過的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，代入數(shù)值可得答案；
（3）根據(jù)題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判斷出兩三角形相似．
解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，3），
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0）（1分）
根據(jù)題意，得，
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3（5分）；

（2）如圖，設(shè)該拋物線對稱軸是DF，連接DE、BD．過點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．
由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4）（2分）
設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F
∴四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE
=AO•BO+（BO+DF）•OF+EF•DF
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4
=9；

（3）相似，如圖，
BD=；
∴BE=
DE=
∴BD²+BE²=20，DE²=20
即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且，
∴△AOB∽△DBE（2分）．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．