Question

已知A（5，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，并且AB與直線l：平行，AB長(zhǎng)為8．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P是直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB內(nèi)切圓的最大面積．

Answer 1

解：（1）∵AB與直線l：平行，
∴設(shè)直線AB的解析式為：+b，
∵A（5，0），
∴0=×5+b，
解得：b=-，
∴直線AB的解析式為：y=，
設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x₀，），
作BD⊥x軸于D點(diǎn)，
∴BD=
AD=x₀-5，
∵AB長(zhǎng)為8．
∴（）²+（x₀-5）²=8²，
解得：x₀=-（不合題意舍去）或，
∴=4.8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（11.4，4.8）

（2）過A點(diǎn)作DA⊥x軸交直線L與D點(diǎn)，作AC⊥OD于C點(diǎn)，
∵點(diǎn)C、D在直線l：上，
∴AC：CO=3：4，
∵OA=5，
∴AC=3，
∴S_△PAB=AB•AC=×8×3=12，
∴r=，
∵△PAB周長(zhǎng)最小時(shí)，r最大，
∴過B作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則BB′=3×2=6，
∴AB′=10，
a+b+8=18，
∴最大r==，
∴△PAB內(nèi)切圓的最大面積為：π．
分析：（1）首先求得直線AB的解析式，然后設(shè)出B點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理得到有關(guān)B點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)AB=8，以及直線l和點(diǎn)A的位置，求出三角形ABP的面積，利用三角形與內(nèi)切圓關(guān)系是：r=（2×三角形面積）÷三角形周長(zhǎng)（a+b+8），再根據(jù)a+b＞8找r的最大值后求得最大面積即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí)及三角形的內(nèi)切圓的半徑與三邊和面積之間的關(guān)系，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．