如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∠DBC=∠BAC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC=30°，求圖中陰影部分的面積．
【答案】分析：（1）求出∠ADB的度數(shù)，求出∠ABD+∠DBC=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）分別求出等邊三角形DOB面積和扇形DOB面積，即可求出答案．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠BAC，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB為直徑，
∴BC是⊙O切線；

（2）解：連接OD，過O作OM⊥BD于M，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴OB=BD=OD=2，
∴BM=DM=1，
由勾股定理得：OM=，
∴陰影部分的面積S=S扇形DOB-S△DOB=-×2×=π-．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分別求出扇形DOB和三角形DOB的面積．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，且P為BC中點(diǎn)，PD⊥AC于點(diǎn)D．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證：AB=AC；
（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•高淳縣二模）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．
（1）求證：AB=CB；
（2）過點(diǎn)D作出⊙O的切線；（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）
（3）設(shè)過D點(diǎn)⊙O的切線交BC于H，DH=
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，tanC=3，求⊙O的直徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑的⊙B交邊AB于D，AE⊥AB交CD的延長線于E，并且AE=AC．
（1）證明AC是⊙B的切線；
（2）探究DE•DC與2AD•DB是否相等，并說明理由；
（3）如果DE•DC=8，且BC=4，求CD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•攀枝花）如圖，△ABC中，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，且BA•BM=BC•BN．
（1）求證：AC⊥BC；
（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=4時(shí)，求AB的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC中，以BC為邊向外作△BCD，把△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ECD的位置，A、C、E三點(diǎn)恰好在同一直線上．
（1）若AB=3，AC=2，試求出線段AE的長度；
（2）若∠ADC=20°，求∠BDA的度數(shù)．

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