Question

平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑等于5，弦DH⊥x軸于K點(diǎn)，DH=8．
（1）如圖1，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)A為⊙O和x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為弧AH上任意一點(diǎn)，連接PK，PH，AM⊥PH交HP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，求的值；
（3）如圖3，高與x軸正半軸交點(diǎn)為S，點(diǎn)E、F是線段OS上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)S重合），連接并延長(zhǎng)DE，DF交⊙O于點(diǎn)B、C，直線BC交x軸于點(diǎn)G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OS上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)S重合），∠OGC+∠DOG的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)求出其變化范圍．

Answer 1

解：（1）連接OH（如圖1），
∵DH⊥x軸，
∴DC=DH=DH=4，
根據(jù)勾股定理OC²+HC²=OH²，
∴OC=3，
∴H（3，-4）；

（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，（如圖2）
∵∠APM+∠APH，
=∠ADH+∠APH=180°，
∴∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，
而AN⊥PD，AM⊥PH，
∴AM=AN，
又∵AP=AP，
∵在Rt△APM和Rt△APN中，
，
∴△APM≌△APN（HL），
由垂徑定理可得：，
∴AD=AH，
∵在Rt△ADN和Rt△AHM中，
，
∴△ADN≌△AHM（HL），
∴PM=PN，DN=HM，
∴PD-PH=2PM，
∴=2；

（3）當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)（與點(diǎn)P不重合），∠OGC+∠DOG是定值．理由如下：
過點(diǎn)D作DK⊥EF于K，并延長(zhǎng)DK交⊙O于H，連接OH，交BC于T，（如圖3）
則弧DS=弧SH，
∴∠DOG=∠HOG，
∵△DEF為等腰三角形，DK⊥EF，
∴DH平分∠BDC，
∴弧BH=弧CH，
∴OH⊥BC，
∴∠OGC+∠HOG=90°，
∴∠OGC+∠DOG=90°．
分析：（1）連接OH，根據(jù)勾股定理求得OC=3，從而得出點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，由鄰補(bǔ)角的定義，得∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，可以證明△ADN≌△AHM，由垂徑定理可得AD=AE，則△ADN≌△AHM，從而得出求的值；
（3）當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OS上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)S重合），∠OGC+∠DOG的值不發(fā)生變化，由題意可得，弧DS=弧SH，
則∠DOG=∠HOG，進(jìn)而得出弧BH=弧CH，故OH⊥BC，由∠OGC+∠HOG=90°，故∠OGC+∠DOG=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定、垂徑定理和圓周角定理．解答這類題一些學(xué)生不會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題，不知從何處入手造成錯(cuò)解．