Question

如圖所示，在△ABC中，D、E是AC、BC的中點(diǎn)，BF=AB，BD與FC相交于點(diǎn)G，連接EG
（1）求證：EG∥AC；
（2）求S_△BFG/S_△BEG的比值．

Answer 1

（1）證明：取AF的中點(diǎn)H，連接HD，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴DH∥FC，
∵BF=AB，
∴BF=FH，
∴BG=GD，
∴G是BD的中點(diǎn)，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EG∥AC；

（2）解：設(shè)S_△BFG=a，
∵BF=AB，G是BD的中點(diǎn)，
∴S_△ABD=2×3×a=6a，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴S_△ABC=12a，
∴S_△BFG=S_△ABC，
設(shè)S_△BGE=b，
∵EG∥AC，
∴△BGE∽△BDC，
∴，
∴S_△BCD=4b，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴S_△ABC=8b，
故S_△BEG=S_△ABC，
∴．
分析：（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，首先作出輔助線：取AF的中點(diǎn)H，連接HD，即可得到：DH∥FC，則可得到G是BD的中點(diǎn)，則問(wèn)題得證；
（2）首先設(shè)S_△BFG=a，由BF=AB，G是BD的中點(diǎn)，可得S_△ABD=2×3×a=6a，又由D是AC的中點(diǎn)，可得S_△ABC=12a，即得S_△BFG=S_△ABC，同理可求得：S_△BEG=S_△ABC，則問(wèn)題得解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，以及相似三角形的面積比等于相似比的平方與等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比等知識(shí)．準(zhǔn)確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．