如圖,在平面直角坐標系中,直線y=x+b與x軸交于點A,與正比例函數(shù)y=-x的圖象交于點B,過B點作BC⊥y軸,點C為垂足,C(0,8).
(1)求直線AB的解析式;
(2)動點M從點A出發(fā)沿線段A0以每秒鐘l個單位的速度向終點O勻速移動,在移動過程中過點M作x軸的垂線交線段AB或線段B0于點P、設M點移動的時間為t秒,線段BP的長為d(d>0),求d與t之間的函數(shù)關系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,動點Q同時從原點O出發(fā),以每秒鐘1個單位長的速度,沿折線 0-C-B的路線向點B運動,當動點M停止移動時,點Q同時停止移動、當t為何值時,△BPQ是以BP為一腰的等腰三角形?

【答案】分析:(1)由BC⊥y軸,點C為垂足,C(0,8),可得點B的縱坐標為8,即可求得點B的坐標,然后將其代入y=x+b,即可求得直線AB的解析式;
(2)由直線AB:y=x+14交x軸于點A,可求得OA的長,∠BAO=45°,過點B作BD⊥x軸于點D,即可求得AB,AD的長與cos∠DOB的值,再分別從當點M在AD上時與當點M在OD上時,OM=14-t,去分析求解即可求得答案;
(3)由△BPQ是以BP為一腰等腰三角形,可得BP=BQ或BP=PQ,然后分別從當點P在AB上時(0≤t≤8),Q在OC上與當點P在BO上時(8<t≤14),Q在BC上去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)∵BC⊥y軸,點C為垂足,C(0,8),
∴點B的縱坐標為8,
∵點B在正比例函數(shù)y=-x的圖象上,
∴當y=8時,x=-6,
∴點B的坐標為(-6,8),
把(-6,8)代入y=x+b中,
得:8=-6+b,
解得:b=14,
∴直線AB的解析式為:y=x+14;

(2)由題意得:AM=t,
∵直線AB:y=x+14交x軸于點A,
∴A(-14,0),
∴OA=14,
過點B作BD⊥x軸于點D,
∵B(-6,8),
∴BD=8,OD=6,
∴AD=OA-OD=14-6=8,
∴AD=BD,
∴∠BAD=45°,
∴AB==8,OB==10,
∴cos∠DOB===
①當點M在AD上時,
∵PM⊥x軸,
∴∠PMA=90°,
∴AP=t,
∴BP=AB-AP=8-t(0≤t≤8);
②當點M在OD上時,OM=14-t,
∵∠PMO=90°,cos∠DOB=,
∴OP=(14-t),
∴BP=OB-OP=10-(14-t)=t-(8<t≤14);
綜上,d=BP=;

(3)∵△BPQ是以BP為一腰等腰三角形,
∴BP=BQ或BP=PQ,
①當點P在AB上時(0≤t≤8),Q在OC上,
∵OC=BD=8,PM=OQ=t,
∴CQ=OC-OQ=8-t,
∴BQ2=BC2+CQ2=62+(8-t)2,
∵∠PMO=∠MOQ=90°,
∴四邊形PMOQ是矩形,
∴PQ=OM=14-t,
當BP=BQ時,即BP2=BQ2,
∴(8-t)2=62+(8-t)2
整理得:t2-16t+28=0,
解得:t=2或t=14,
∵0≤t≤8,
∴t=2;
當PB=PQ時,即BP2=PQ2,
∴(8-t)2=(14-t)2
整理得:t2-4t-68=0,
解得:t=2±6
∵0≤t≤8,
∴t=2±6不合題意,舍去;
②當點P在BO上時(8<t≤14),Q在BC上,
∵OC=t-8,BC=6,
∴BQ=BC-OC=6-(t-8)=14-t,
當BP=PQ時,t-=14-t,
解得:t=;
當BP=PQ時,過點P作PH⊥BC于H,
∴BQ=2BH,
∵BH=DM=AM-AD=t-8,
∴14-t=2(t-8),
解得:t=10;
綜上,當t=2或t=或t=10時,△BPQ是以BP為一腰的等腰三角形.
點評:此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、矩形的判定與性質、勾股定理、三角函數(shù)的定義以及等腰直角三角形性質.此題綜合性較強,難度較大,注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用.
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BD
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=
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k
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k
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