Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB＝AC，過B點作射線BE，過C點作射線CF，使∠ABE＝∠ACF，且射線BE，CF交于點D，過A點作AM⊥BD于M．

（1）探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關系并說明理由；

（2）求證：BM＝DM+DC；

（3）如圖2，將射線BE，CF分別繞點B和點C順時針旋轉至如圖位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長線于點D，過A點作AM⊥BD于M．請問（2）中的結論是否還成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，見解析；（2）見解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，見解析

【解析】

（1）由三角形內角和定理得出，，又∠ABE＝∠ACF，則進行計算即可得解；

（2）作AN⊥CF于N，連接AD，易證，由AAS證得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，由HL證得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出結論；

（3）作AN⊥CF于N，連接AD，易證，由AAS證得△AMB≌△ANC得出，AM＝AN，由HL證得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出結論．

（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：

∵，

，

∠ABE＝∠ACF，

∴

＝

＝

∴；

（2）證明：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖1所示：

∵AM⊥BD，

∴，

在△AMB和△ANC中，

，

∴△AMB≌△ANC，

∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，

在Rt△AMD和Rt△AND中，

，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，

∴DM＝DN，

∴BM＝DM+DC；

（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：

作AN⊥CF于N，連接AD，如圖2所示：

∵AM⊥BD，

∴，

在△AMB和△ANC中，

，

∴△AMB≌△ANC，

∴，AM＝AN，

在Rt△AMD與Rt△AND中，

，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，

∴DM＝DN，

∴．