Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．

 (1)如圖1，P為AB邊上的一點，以PD、PC為邊作□PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？

(2)如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作□PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

(3)若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC為邊作□PCQE，請?zhí)骄繉�角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

(4)如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE＝nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作□PBQE，請?zhí)骄繉�角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

相似三角形的判定與性質(zhì)；根的判別式；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)。

專題：

代數(shù)幾何綜合題。

分析：

問題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判別式△＜0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等；

問題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，則可得當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4；

問題3：設(shè)PQ與DC相交于點G，PE∥CQ，PD＝DE，可得＝＝，易證得Rt△ADP∽Rt△HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案；

問題4：作QH∥PE，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，易證得＝與△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案．

解答：

解：問題1：∵四邊形PCQD是平行四邊形，

若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，

∴∠DPC＝90°，

∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，

∴DC＝2，

設(shè)PB＝x，則AP＝2－x，

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，

化簡得x2－2x＋3＝0，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，

∴方程無解，

∴對角線PQ與DC不可能相等．

問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，

則G是DC的中點，

過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，

∵PD∥CQ，

∴∠PDC＝∠DCQ，

∴∠ADP＝∠QCH，

又∵PD＝CQ，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，

∴AD＝HC，

∵AD＝1，BC＝3，

∴BH＝4，

∴當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．

問題3：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點G，

∵PE∥CQ，PD＝DE，

∴＝＝，

∴G是DC上一定點，

作QH⊥BC，交BC的延長線于H，

同理可證∠ADP＝∠QCH，

∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，

即＝＝，

∴CH＝2，

∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，

∴當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．

問題4：如圖3，設(shè)PQ與AB相交于點G，

∵PE∥BQ，AE＝nPA，

∴＝，

∴G是DC上一定點，

作QH∥PE，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，

∴∠QBH＝∠PAD，

∴△ADP∽△BHQ，

∴，

∵AD＝1，

∴BH＝n＋1，

∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4，

過點D作DM⊥BC于M，

則四邊形ABND是矩形，

∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2

∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM，

∴∠DCM＝45°，

∴∠KCH＝45°，

∴CK＝CH•cos45°＝(n＋4)，

∴當(dāng)PQ⊥CD時，PQ的長最小，最小值為(n＋4)．

點評：

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識．此題難度較大，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．