Question

19．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交的于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點（P不與C，B兩點重合），過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；當m為何值時，S有最大值．

Answer 1

分析 （1）對于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標，令x=0求出y的值確定出C的做準備，進而求出對稱軸即可；
（2）①根據(jù)B與C坐標，利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式，進而表示出E與P坐標，根據(jù)拋物線解析式確定出D與F坐標，表示出PF，利用平行四邊形的判定方法確定出m的值即可；
②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點M，求出OB的長，三角形BCF面積等于三角形BFP面積加上三角形CFP面積，列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出S取得最大值時m的值即可．

解答 解：（1）對于拋物線y=-x²+2x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；
令y=0，得到-x²+2x+3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x=-1或x=3，
則A（-1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；
（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
當x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3），
令y=-x²+2x+3中x=1，得到y(tǒng)=4，
∴D（1，4），
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，
∵0＜m＜3，
∴y_F＞y_P，
∴線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
連接DF，由PF∥DE，得到當PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），
則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；
②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，
∵S=S_△BPF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$PF•BM+$\frac{1}{2}$PF•OM=$\frac{1}{2}$PF（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PF•OB，
∴S=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m（0＜m＜3），
則當m=$\frac{3}{2}$時，S取得最大值．

點評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：拋物線與坐標軸的交點，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．