Question

　　如圖1a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b，點(diǎn)E、F分別是兩腰AD、BC上的點(diǎn)，且EF∥AB，設(shè)EF到CD、AB的距離分別為d₁、d₂，某同學(xué)在對(duì)這一圖形進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

①當(dāng)；

當(dāng)；

當(dāng)；

當(dāng)；

②當(dāng)；當(dāng)；

  當(dāng)；當(dāng)。

根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

（1）猜想當(dāng)和時(shí)，分別能得到什么結(jié)論（其中m、n均為正整數(shù)）？

（2）進(jìn)一步猜想當(dāng)時(shí)，有何結(jié)論（其中m、n均為正整數(shù)）？并證明你的結(jié)論；

（3）如圖1b，有一塊梯形耕地ABCD，AD∥BC，AD＝100米，BC＝300米，AB＝500米，在AB上取兩點(diǎn)E、F，使AE＝200米，EF＝150米，分別從E、F兩處為起點(diǎn)開(kāi)挖兩條平行于兩底的水渠，直到另一腰，求這兩條水渠的總長(zhǎng)度。

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 （2）當(dāng)時(shí)，。 證明：延長(zhǎng)AD、BC交于G，設(shè)△DCG在BC邊上的高為h，則由三角形相似得：        從上述關(guān)于h，EF的方程組中易求得。 （3）由于過(guò)點(diǎn)E平行于兩底的水渠到兩底的距離比等于2:3，由（2）中的結(jié)論可得： 水渠長(zhǎng)（米） 由于過(guò)點(diǎn)F平行于兩底的水渠到兩底的距離比等于7:3，由（2）中的結(jié)論可得： 水渠長(zhǎng)（米） 故兩條水渠的總長(zhǎng)度是180＋240＝420(米)。