Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（3，0）．
（1）若拋物線過A，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)（0，-3），求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值；
（3）若對(duì)稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與y軸交于點(diǎn)C，過C作CP∥x軸交l于點(diǎn)P，M為此拋物線的頂點(diǎn)．若四邊形PEMF是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線過A，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)（0，-3），可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先設(shè)出過A，B兩點(diǎn)拋物線的解析式，作MD⊥x軸于D，再分別求出A、B、C、M各點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形求各三角形的面積，最后由三角形之間的和差關(guān)系△ACM的面積進(jìn)行計(jì)算；
（3）因?yàn)橐阎獟佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與y軸的交點(diǎn)，可設(shè)出拋物線的解析式，由于不明確拋物線的開口方向，故應(yīng)分類討論．在進(jìn)行分類討論時(shí)還要注意討論哪個(gè)角為60°，不要漏解．

解答：解：（1）設(shè)過拋物線A，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)（0，-3），的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，0），B（3，0），點(diǎn)（0，-3）代入
得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
故此拋物線的解析式為y=x²-2x-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）由題意，設(shè)y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），M（1，-4a），
∴S_△ACB=

1

2

×4×|-3a|=6|a|，
而a＞0，
∴S_△ACB=6a．
作MD⊥x軸于D，
又S_△ACM=S_△ACO+S_OCMD-S_△AMD=

1

2

•1•3a+

1

2

（3a+4a）-

1

2

•2•4a=a，
∴S_△ACM：S_△ACB=1：6；

（3）①當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，
設(shè)y=a（x-1）²+k，
即y=ax²-2ax+a+k，
有菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0，
∴k=-

a

2

，
∴y=ax²-2ax+

a

2

，
∴|EF|=

(x2+x1)2-4x1x2

=

2

記l與x軸交點(diǎn)為D，
若∠PEM=60°，則∠FEM=30°，MD=DE•tan30°=

6

6

，
∴k=-

6

6

，a=

6

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

6

x²-

2

3

6

x+

6

6

若∠PEM=120°，則∠FEM=60°，MD=DE•tan60°=

6

2

，
∴k=-

6

2

，a=

6

，
∴拋物線的解析式為y=

6

x²-2

6

x+

6

2

②當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，同理可得y=-

1

3

6

x²+

2

3

6

x-

6

6

，
y=-

6

x²+2

6

x-

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，綜合性較強(qiáng)，考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，及三角形的面積，注意某個(gè)圖形無法解答時(shí)，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差”關(guān)系求解．在解（3）時(shí)一定要分類討論．