Question

如圖，在梯形紙片ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，BC=BH=2．動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DH運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)F作FE⊥AD交折線D-C-B于點(diǎn)E，將紙片沿直線EF折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C₁、D₁．設(shè)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x秒（x＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△EFD₁或四邊形EFD₁C₁與梯形ABCD重疊部分面積為S，請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)自變量x的取值范圍；
（3）平移線段CD，交線段BH于點(diǎn)G，交線段AD于點(diǎn)P．在直線BC上存在點(diǎn)I，使△PGI為等腰直角三角形．請(qǐng)求出線段IB的所有可能的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）過C作GC∥AB交AD于G，通過勾股定理就可以求出AH=1，AB=

5

，再得出四邊形ABCG是平行四邊求出DH，過C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分四種情況討論，如圖4，當(dāng)0＜x≤3.5時(shí)，如圖5，3.5＜x≤4時(shí)，作GM⊥AD于M，如圖6，當(dāng)4＜x≤5時(shí)，作GM⊥AD于M，當(dāng)5＜x≤6時(shí)，可以分別求出S與x之間的環(huán)數(shù)關(guān)系式；
（3）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)I為直角頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）過C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=

5

，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∴AG=BC=2，CG=AB=

5

，
∴CD=2

5

，GD=5，
∴DH=6．
過C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)x=4．

（2）如圖4，當(dāng)0＜x≤3.5時(shí)，
S=

1

2

D₁F•EF=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²；
如圖5，3.5＜x≤4時(shí)，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

D₁F•EF-

1

2

D₁A•GM．
D₁A=2x-7
設(shè)GM=a，則AM=

1

2

a，
∵

GM

D1M

=

1

2

a，
∴

a

2x-7+ 1 2 a

=

1

2

，
∴a=

4x-14

3

，
即GM=

4x-14

3

．
∴S=

1

4

x²-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

；
=-

13

12

x²+

28

3

x-

49

3

；
如圖6，當(dāng)4＜x≤5時(shí)，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

（C₁E+D₁F）×2-

1

2

D₁A•GM
=

1

2

（x-4+x）×2-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

=-

4

3

x²+

34

3

x-

61

3

；

當(dāng)5＜x≤6時(shí)，
S=

1

2

（BE+AF）•EF
=

1

2

（6-x+7-x）×2
=13-2x．

（3）①如圖1
當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，作IO⊥AD于O，
∴∠POI=90°．∠GPI=90°．
∴∠GPH+∠IPO=90°，∠IPO+∠PIO=90°，
∴∠GPH=∠PIO．
∵△PGI是等腰直角三角形，
∴GP=IP．
∵BH⊥AD，
∴∠BHP=90°，
∴∠BHP=∠POI．
在△GHP和△POI中，

∠BHP=∠POI ∠GPH=∠PIO GP=PI

，
∴△GHP≌△POI，
∴HP=OI，GH=PO．
∵GP∥CD，
∴∠GPH=∠D．
∵∠A+∠D=90°，
∴∠A+∠GPH=90°，
∵∠A+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠GPH．
∵tanA=2，
∴tan∠ABH=tan∠GPH=

1

2

，
∴GH=

1

2

HP=

1

2

IO=1，
∴IB=2+1=3；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)I為直角頂點(diǎn)時(shí)，作IO⊥AD于O，
同理可以得出：△BGI≌△OPI，
∴IP=IO．
∵IO=BH=2，
∴IB=2；
③如圖3，當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，

同理可以得出：△BGI≌△HPG，
∴BI=GH，GB=HP．
∵GH=

1

2

HP，
∴GH=

1

2

BG，
∴GH=

1

3

BH=

2

3

，
∴BI=

2

3

．
綜上所述，IB的長(zhǎng)度是3，2，

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，分段函數(shù)的解法的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)尋找分段函數(shù)的分段點(diǎn)是難點(diǎn)，解答時(shí)考慮不同情況的S的值如何的表示是關(guān)鍵．