Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于兩點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)D（m，）是拋物線y=ax²+bx+c上的一點(diǎn)，請(qǐng)求出tan∠OCD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線與x軸的兩交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的二根形式，將C的坐標(biāo)代入求出a的值，進(jìn)而確定出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將D的縱坐標(biāo)代入第一問(wèn)求出的拋物線解析式中，求出x的值，即為D的橫坐標(biāo)，確定出D的坐標(biāo)，如圖所示過(guò)y軸上的點(diǎn)（0，）作出直線y=，與拋物線的交點(diǎn)即為D的位置，連接CD，分別求出CE及ED，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠OCD的值．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），
∴設(shè)拋物線的兩根形式為：y=a（x-1）（x-3），
又拋物線與y軸交于C（0，3），
∴將x=0，y=3代入拋物線解析式得：3=3a，解得：a=1，
則拋物線的解析式為y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）拋物線y=x²-4x+3中，
令y=，得到x²-4x+3=，解得：x₁=，x₂=，
∴D的坐標(biāo)為（，）或（，），

在Rt△CED中，CE=OC-OE=3-=，ED=，
∴tan∠OCD===；
在Rt△CED′中，CE=，ED′=，
∴tan∠OCD′==2，
綜上，tan∠OCD的值為或2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及銳角三角函數(shù)定義，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，本題第一問(wèn)注意運(yùn)用拋物線的二根式來(lái)設(shè)，第二問(wèn)注意tan∠OCD的值有兩解，不要漏解．