Question

【題目】如圖：在等腰直角三角形中，AB=AC，點D是斜邊BC上的中點，點E、F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF．

（1）若設(shè)BE=a，CF=b，滿足+|b﹣5|=+，求BE及CF的長．

（2）求證：BE2+CF2=EF2．

（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）BE=12，CF=5；（2）見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)二次根式的非負性求出m=2，再由非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，進而得到BE及CF的長；

（2）延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BE=CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可得證；

（3）連接AD，由AB=AC，且D為BC的中點，利用三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到一對角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的長，即為AC的長，再由AC﹣CF求出AF的長，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的長，再根據(jù)三角形DEF為等腰直角三角形求出DE與DF的長，即可確定出三角形DEF的面積．

（1）解：由題意得，

解得m=2，

則+|b﹣5|=0，

所以a﹣12=0，b﹣5=0，

a=12，b=5，

即BE=12，CF=5；

（2）證明：延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，

在△BED和△CPD中，

，

∴△BED≌△CPD（SAS），

∴BE=CP，∠B=∠CDP，

在△EDF和△PDF中，

，

∴△EDF≌△PDF（SAS），

∴EF=FP，

∵∠B=∠DCP，∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，

在Rt△FCP中，根據(jù)勾股定理得：CF2+CP2=PF2，

∵BE=CP，PF=EF，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）解：連接AD，

∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點，

∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，

∵ED⊥FD，

∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠EDA=∠FDC，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，

∴AB=AE+EB=5+12=17，

∴AF=AC﹣FC=AB﹣CF=17﹣5=12，

在Rt△EAF中，根據(jù)勾股定理得：EF==13，

設(shè)DE=DF=x，

根據(jù)勾股定理得：x2+x2=132，

解得：x=，即DE=DF=，

則S△DEF=DEDF=××=．