Question

證明：三角形任一頂點至垂心的距離等于外心到它的對邊的距離的2倍．
把條件改寫一下：已知AD、BE為△ABC的兩高線，其交點為H，OM、ON分別為BC、CA的中垂線且交于O．須證：AH=2OM，BH=2ON．

Answer 1

證明：
方法一：（中位線定理）取AH、BH中點F、G，
連接FG，則FG∥AB，F(xiàn)G=AB．
連接MN，則MN∥FG，MN=AB．故MN∥FG．
因FD⊥BC，OM⊥BC，故FD∥OM，即FH∥OM．從而∠HFG=∠OMN．
同理∠HCF=∠ONM．于是△HFG∽△OMN．
∴OM=FH=AN，ON=GH=BH．
即AH=2OM，BH=2ON．
方法二：（中位線定理）連接CH，取CH中點F，連接NF、MF，則NF∥AH，
同理MF∥BH，但BE∥ON（因BE、ON同垂直于BC）．故MF∥ON．
同理NF=OM．從而OMFN是平行四邊形．于是OM=NF=AH．
即AH=2OM，BH=2ON．
方法三：（利用相似），連接MN，則MN∥AB，MN=AB．
因AD∥OM（AD、OM同垂直于BC），BE∥ON．
故△ABH∽△MNO，．
于是AH=20M，BH=20N．
分析：取AH、BH中點F、G，連接FG，可得FG=AB．連接MN，可得MN=AB．利用MN∥FG，MN∥FG和FD⊥BC，OM⊥BC，求證∠HFG=∠OMN．同理∠HCF=∠ONM．從而證明△HFG∽△OMN，即可得出結論．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理的理解和掌握，解答此題的方法很多，但關鍵都是利用相似三角形對應邊成比例來求解．