Question

（2002•濱州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，以AC直徑的⊙O交AB于D，∠B的平分線分別交AC、CD于E、F．
（1）求證：CE=CF；
（2）若BC=6，AD=，求BD的長；
（3）求sinA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AC是直徑可知，∠ADC=∠ACB=90°BE平分∠ABC，∠1=∠2得到∠CEF=∠CFE，所以CE=CF；
（2）設(shè)BD的長為x，則x（x+）=36，解得：x₁=5或x₂=-（舍去）；
（3）根據(jù)∠A=∠BCD，可知sinA=sin∠BCD==．
解答：（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
又∠CEF=90°-∠1，∠CFE=∠DFB=90°-∠2，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）解：由題意得，BC切⊙O于C，
設(shè)BD的長為x，根據(jù)切割線定理得到：BD（BD+AD）=BC²，
則x（x+）=36，
解得：x₁=5或x₂=-（舍去），
∴BD的長為5．

（3）解：∵∠A=∠BCD，
∴sinA=sin∠BCD==．
點評：主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和角平分線性質(zhì)．要掌握這些性質(zhì)定理才能在綜合題中靈活運用．